Упр.599 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что $$\sin(\arcsin a)=a$$ при $$-1\le a\le 1$$.

Вычислить:

1) $$\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)$$; 2) $$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$; 3) $$\sin\left(\pi+\arcsin\frac{3}{4}\right)$$; 4) $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}\right)$$; 5) $$\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$$; 6) $$\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$.

Пусть $$\arcsin a=x.$$ Тогда $$x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ и $$\sin x=a.$$ Следовательно,

$$\sin(\arcsin a)=\sin x=a,$$

что и требовалось доказать.

1. $$\sin\left(\arcsin\frac17\right)=\frac17.$$

2. $$\sin\left(\arcsin\left(-\frac15\right)\right)=-\frac15.$$

3. $$\sin\left(\pi+\arcsin\frac34\right)=-\sin\left(\arcsin\frac34\right)=-\frac34.$$

4. $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac13\right)=-\sin\left(\arcsin\frac13\right)=-\frac13.$$

5. $$\cos\left(\arcsin\frac45\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\frac45\right)}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35.$$

6. $$\tg\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sin\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{\cos\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1-\frac{1}{10}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac13.$$

Ответ: $$\sin(\arcsin a)=a,$$ $$\frac17,$$ $$-\frac15,$$ $$-\frac34,$$ $$-\frac13,$$ $$\frac35,$$ $$\frac13.$$