Упр.566 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

566. Доказать тождество: $$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1}{4}$$.

$$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$

Преобразуем произведение косинусов по формулам:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a+\sin\frac{\pi}{3}\sin a,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a.$$

Тогда

$$\sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$

$$=\sin^2 a+\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos a+\sin\frac{\pi}{3}\sin a\right)\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a\right)$$

$$=\sin^2 a+\cos^2\frac{\pi}{3}\cos^2 a-\sin^2\frac{\pi}{3}\sin^2 a.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$ и $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем

$$\sin^2 a+\frac14\cos^2 a-\frac34\sin^2 a$$

$$=\frac14\sin^2 a+\frac14\cos^2 a$$

$$=\frac14\left(\sin^2 a+\cos^2 a\right)=\frac14.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac14$$