Упр.553 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

553. Вычислить:
     
     1) $$2\sin 6a\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)-\sin 6a$$ при $$a=\frac{5\pi}{24}$$;
     
     2) $$\sin 3a+2\cos(\pi-3a)\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)$$ при $$a=\frac{5\pi}{36}$$.

1) $$2\sin 6a\cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)-\sin 6a$$

Вынесем $$\sin 6a$$ за скобки:

$$\sin 6a\left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)-1\right)$$

Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:

$$\sin 6a\cdot \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)\right)=\sin 6a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}+6a\right)$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$$, получаем:

$$-\sin 6a\cdot \sin 6a=-\sin^2 6a$$

При $$a=\frac{5\pi}{24}$$ имеем:

$$-\sin^2 6a=-\sin^2\left(6\cdot \frac{5\pi}{24}\right)=-\sin^2\frac{5\pi}{4}=-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=-\frac12$$

Ответ: $$-\frac12$$

2) $$\cos 3a+2\cos(\pi-3a)\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)$$

Так как $$\cos(\pi-3a)=-\cos 3a$$, то

$$\cos 3a-2\cos 3a\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)$$

Вынесем $$\cos 3a$$:

$$\cos 3a\left(1-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)\right)$$

Используем формулу $$1-2\sin^2 x=\cos 2x$$:

$$\cos 3a\cdot \cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)\right)=\cos 3a\cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}-3a\right)$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$, получаем:

$$\cos 3a\cdot \sin 3a=\frac12\sin 6a$$

При $$a=\frac{5\pi}{36}$$:

$$\frac12\sin 6a=\frac12\sin\left(6\cdot \frac{5\pi}{36}\right)=\frac12\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12\cdot \frac12=\frac14$$

Ответ: $$\frac14$$