Упр.520 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a=\frac{2\sin^2 a}{2\sin a\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{1-(1-\cos 2a)}{1+\sin 2a}=\frac{\cos 2a}{1+\sin 2a}.$$

Используем формулы:

$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a),$$

$$1+\sin 2a=\cos^2 a+\sin^2 a+2\sin a\cos a=(\cos a+\sin a)^2.$$

Тогда

$$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{(\cos a+\sin a)^2}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1-\tg a}{1+\tg a}=\frac{1-\frac{\sin a}{\cos a}}{1+\frac{\sin a}{\cos a}}=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

Следовательно, тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{1+2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a}.$$

Так как

$$1+2\sin a\cos a=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=(\sin a+\cos a)^2,$$

$$\cos^2 a-\sin^2 a=(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a),$$

то

$$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg a}{1-\tg\frac{\pi}{4}\tg a}=\frac{1+\tg a}{1-\tg a}=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

Тождество доказано.

Ответ: все четыре тождества верны.