Упр.514 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

514. Найти числовое значение выражения:
     а) $$2\cos^2\frac{\pi}{8}-1$$;
     б) $$1-2\sin^2\frac{\pi}{12}$$;
     в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sin^2 15$$;
     г) $$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos^2 1$$.

Используем формулы:

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}, \qquad \sin^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}.$$

1. $$2\cos^2 \frac{\pi}{8}-1=2\cdot \frac{1+\cos \frac{\pi}{4}}{2}-1=1+\cos \frac{\pi}{4}-1=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. $$1-2\sin^2 \frac{\pi}{12}=1-2\cdot \frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}=1-\left(1-\cos \frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

3. $$\frac{\sqrt{3}}{2}+2\sin^2 15^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1-\cos 30^\circ}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1.$$

4. $$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos^2 15^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1+\cos 30^\circ}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}=1.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 1,\ 1.$$