Упр.463 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{tg} a=2$$. Найти значение выражения:

1. $$\frac{\operatorname{ctg} a+\operatorname{tg} a}{\operatorname{ctg} a-\operatorname{tg} a}$$;
2. $$\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}$$;
3. $$\frac{2\sin a+3\cos a}{3\sin a-5\cos a}$$;
4. $$\frac{\sin 2a+2\cos 2a}{\sin 2a-\cos 2a}$$.

Пусть $$\tg \alpha = 2.$$ Тогда $$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = \frac{1}{2}.$$

Решение

1. $$\frac{\ctg \alpha + \tg \alpha}{\ctg \alpha — \tg \alpha} = \frac{\frac{1}{2}+2}{\frac{1}{2}-2} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{5}{3}.$$

2. $$\frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\tg \alpha — 1}{\tg \alpha + 1} = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}.$$

3. $$\frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{3\sin \alpha — 5\cos \alpha} = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+3\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-5\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\tg \alpha + 3}{3\tg \alpha — 5} = \frac{2\cdot 2 + 3}{3\cdot 2 — 5} = 7.$$

4. $$\frac{\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}+2\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}-\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\tg^2 \alpha + 2}{\tg^2 \alpha — 1} = \frac{2^2+2}{2^2-1} = 2.$$

Ответ

$$- \frac{5}{3},\ \frac{1}{3},\ 7,\ 2.$$