Упр.454 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение: 1) $$\sin(5\pi+x)=1$$; 2) $$\cos(x+3\pi)=0$$; 3) $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-1$$; 4) $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=-1$$.

1) $$\sin(5\pi+x)=1$$

Значение $$1$$ синус принимает при

$$5\pi+x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}-5\pi+2\pi k=-\frac{9\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos(x+3\pi)=0$$

Косинус равен нулю при

$$x+3\pi=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}-3\pi+\pi k=-\frac{5\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-1$$

Значение $$-1$$ косинус принимает при

$$\frac{5\pi}{2}+x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\pi-\frac{5\pi}{2}+2\pi k=-\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=-1$$

Значение $$-1$$ синус принимает при

$$\frac{9\pi}{2}+x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{2}-\frac{9\pi}{2}+2\pi k=-5\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{9\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
2) $$x=-\frac{5\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
3) $$x=-\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
4) $$x=-5\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$