Упр.422 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найти координаты точки, полученной поворотом точки $$P(1; 0)$$ на угол $$k$$ (где $$k$$ — целое число):
1) $$\frac{\pi}{2}+\pi k$$;
2) $$\frac{\pi}{4}+\pi k$$;
3) $$-\frac{3\pi}{2}+\pi k$$;
4) $$-\pi+\pi k$$.

Подробный ответ

Точка $$P(1;0)$$ лежит на единичной окружности. При повороте на угол $$\alpha$$ её координаты определяются по стандартным значениям тригонометрической окружности.

$$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k$$
Так как добавление $$\pi$$ меняет направление на противоположное, получаем точки, соответствующие углам $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\frac{3\pi}{2}$$:
$$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right)$$
$$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi k$$
При повороте на угол $$\frac{\pi}{4}$$ и на противоположный ему угол получаем точки:
$$\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right)$$
$$\alpha=-\frac{3\pi}{2}+\pi k$$
Так как $$-\frac{3\pi}{2}\equiv \frac{\pi}{2}\pmod{2\pi},$$ то возможны те же положения, что и при угле $$\frac{\pi}{2}$$:
$$\left(0;1\right),\ \left(0;-1\right)$$
$$\alpha=-\pi+\pi k$$
Так как $$-\pi\equiv \pi\pmod{2\pi},$$ получаем точки:
$$\left(-1;0\right),\ \left(1;0\right)$$