Упр.401 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение (401—403).

   401. 1) $$x\lg 9+9\lg x=6$$; 2) $$x^{3\lg^3(x)-\frac{2}{3}\lg x}=100$$.

1) $$x^{\lg 9}+9^{\lg x}=6$$

Преобразуем первое слагаемое:

$$x^{\lg 9}=x^{\frac{\lg 9}{\lg 10}}=x^{\frac{\lg 9}{1}}=x^{\lg 9}$$

Удобнее воспользоваться свойством $$a^{\lg b}=b^{\lg a}$$:

$$x^{\lg 9}=9^{\lg x}$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$9^{\lg x}+9^{\lg x}=6$$

$$2\cdot 9^{\lg x}=6$$

$$9^{\lg x}=3$$

$$\lg x=\log_9 3=\frac{1}{2}$$

$$x=10^{1/2}=\sqrt{10}$$

2) $$x^{3(\lg x)^2-\frac{2}{3}\lg x}=100\sqrt[3]{10}$$

Возьмём логарифм по основанию $$10$$ от обеих частей:

$$\lg x\left(3(\lg x)^2-\frac{2}{3}\lg x\right)=\lg\left(100\sqrt[3]{10}\right)$$

$$3(\lg x)^4-\frac{2}{3}(\lg x)^2=\lg\left(10^2\cdot 10^{1/3}\right)=\lg\left(10^{7/3}\right)=\frac{7}{3}$$

Сделаем замену:

$$t=(\lg x)^2$$

Тогда получаем:

$$3t^2-\frac{2}{3}t=\frac{7}{3}$$

$$9t^2-2t-7=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 9\cdot(-7)=256$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 16}{18}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac{7}{9}$$

Так как $$t=(\lg x)^2\ge 0,$$ то значение $$t_2=-\frac{7}{9}$$ не подходит.

Остаётся:

$$(\lg x)^2=1$$

$$\lg x=\pm 1$$

$$x=10^1=10,\qquad x=10^{-1}=0{,}1$$

Ответ: 1) $$\sqrt{10}$$; 2) $$0{,}1,\ 10$$.