Упр.392 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_3(2-x^2)-\log_3(-x)=0$$
2. $$\log_5(x^2-12)-\log_5(-x)=0$$
3. $$\log_2\sqrt{3}+\log_2\sqrt{3x-7}=2$$
4. $$\lg(x+6)-\lg\sqrt{2x-3}=\lg 4$$

1) $$\log_3(2-x^2)-\log_3(-x)=0$$

$$\log_3(2-x^2)=\log_3(-x)$$

Тогда

$$2-x^2=-x$$

$$x^2-x-2=0$$

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=-1$$

Проверим область допустимых значений:

$$2-x^2>0,\quad -x>0$$

$$x^2<2,\quad x<0$$

Подходит только $$x=-1$$.

2) $$\log_5(x^2-12)-\log_5(-x)=0$$

$$\log_5(x^2-12)=\log_5(-x)$$

Тогда

$$x^2-12=-x$$

$$x^2+x-12=0$$

$$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=-4 \text{ или } x=3$$

Проверим ОДЗ:

$$x^2-12>0,\quad -x>0$$

$$x<-2\sqrt{3} \text{ или } x>2\sqrt{3},\quad x<0$$

Подходит только $$x=-4$$.

3) $$\log_2\sqrt{x-3}+\log_2\sqrt{3x-7}=2$$

$$\log_2\sqrt{(x-3)(3x-7)}=2$$

$$\sqrt{(x-3)(3x-7)}=4$$

$$\left(x-3\right)\left(3x-7\right)=16$$

$$3x^2-16x+21=16$$

$$3x^2-16x+5=0$$

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 5=196$$

$$x=\frac{16\pm 14}{6}$$

$$x_1=5,\quad x_2=\frac13$$

По ОДЗ: $$x>3$$, значит подходит только $$x=5$$.

4) $$\lg(x+6)-\lg\sqrt{2x-3}=\lg 4$$

$$\lg\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}=\lg 4$$

$$\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}=4$$

$$x+6=4\sqrt{2x-3}$$

$$x^2+12x+36=16(2x-3)$$

$$x^2-20x+84=0$$

$$D=20^2-4\cdot 84=64$$

$$x=\frac{20\pm 8}{2}$$

$$x_1=6,\quad x_2=14$$

Проверка ОДЗ: $$x>-\!6$$, $$2x-3>0$$, оба корня подходят.

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$-4$$; 3) $$5$$; 4) $$6,\ 14$$.