Упр.359 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство (359—367).

359. 1) $$\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$$;

     2) $$\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$$;

     3) $$\lg(3x-4)<\lg(2x+1)$$;

     4) $$\log_{\frac{1}{2}}(2x+3)>\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$$.

1) Так как $$5>1,$$ то

$$\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0 \iff \frac{3x-2}{x^2+1}>1.$$

Поскольку $$x^2+1>0$$ при любых $$x,$$ получаем

$$3x-2>x^2+1,$$

$$x^2-3x+3<0.$$

Но

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0,$$

а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-3x+3>0$$ при всех $$x.$$ Следовательно, неравенство решений не имеет.

2) Так как $$\frac12<1,$$ то

$$\log_{\frac12}\frac{2x^2+3}{x-7}<0 \iff \frac{2x^2+3}{x-7}>1.$$

Тогда

$$\frac{2x^2+3}{x-7}-1>0,$$

$$\frac{2x^2-x+10}{x-7}>0.$$

Числитель всегда положителен, так как

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 10=1-80=-79<0,$$

а старший коэффициент положителен. Значит, дробь положительна тогда и только тогда, когда $$x-7>0.$$

Итак, $$x>7.$$

3) Так как $$10>1,$$ то

$$\lg(3x-4)<\lg(2x+1) \iff 3x-4<2x+1,$$

при условиях

$$3x-4>0,\qquad 2x+1>0.$$

Решаем неравенство:

$$3x-4<2x+1 \iff x<5.$$

Из области допустимых значений:

$$x>\frac43,\qquad x>-\frac12.$$

Совмещая условия, получаем

$$\frac43<x<5.$$

4) Так как $$\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac12}(2x+3)>\log_{\frac12}(x+1) \iff 2x+3<x+1,$$

при условиях

$$2x+3>0,\qquad x+1>0.$$

Из сравнения аргументов:

$$2x+3<x+1 \iff x<-2.$$

Но одновременно должно выполняться $$x>-\frac32$$ и $$x>-1,$$ что невозможно. Следовательно, решений нет.

Ответ

1) $$\varnothing$$; 2) $$x>7$$; 3) $$\frac43<x<5$$; 4) решений нет.