Упр.250 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 250. Решить уравнение:
   1) $$1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$$;
   2) $$0{,}75^{2x-3}=\left(1*1/3\right)^{5x-1}$$;
   3) $$5^{x^2-5x-6}=1$$;
   4) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}$$.

1) $$1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$$

$$1{,}5=\frac{3}{2}, \quad \left(\frac{3}{2}\right)^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-x-1}$$

Тогда

$$5x-7=-x-1$$

$$6x=6$$

$$x=1$$

Ответ: $$1$$

2) $$0{,}75^{2x-3}=\left(1\frac{1}{3}\right)^{5x-1}$$

$$0{,}75=\frac{3}{4}, \quad 1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$

Получаем

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{2x-3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{5x-1}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-5x+1}$$

Тогда

$$2x-3=-5x+1$$

$$7x=4$$

$$x=\frac{4}{7}$$

Ответ: $$\frac{4}{7}$$

3) $$5^{x^2-5x-6}=1$$

Так как $$5^0=1$$, то

$$x^2-5x-6=0$$

$$x^2-5x-6=(x-6)(x+1)=0$$

Следовательно,

$$x_1=-1, \quad x_2=6$$

Ответ: $$-1; \ 6$$

4) $$\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}$$

Представим правую часть как степень с тем же основанием:

$$\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{7}\right)^1$$

Тогда

$$x^2-2x-2=1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$$

Следовательно,

$$x_1=-1, \quad x_2=3$$

Ответ: $$-1; \ 3$$