Упр.246 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Сравнить числа:

1. $$4^{-\sqrt{3}}$$ и $$4^{-\sqrt{2}}$$;
2. $$2^{\sqrt{3}}$$ и $$2{,}17^{1{,}7}$$;
3. $$\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}4}$$ и $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$$;
4. $$\left(\frac{1}{9}\right)^{\pi}$$ и $$\left(\frac{1}{9}\right)^{3{,}14}$$.

1) Так как $$4>1,$$ то при большем показателе степень числа $$4$$ меньше. Поскольку $$\sqrt{3}>\sqrt{2},$$ получаем

$$4^{-\sqrt{3}}<4^{-\sqrt{2}}.$$

2) Так как $$2>1,$$ то при большем показателе степень числа $$2$$ больше. Сравним показатели:

$$\sqrt{3}\approx 1{,}73,\qquad 1{,}7<1{,}73.$$

Значит,

$$2^{\sqrt{3}}>2^{1{,}7}.$$

3) Так как $$\frac12<1,$$ то при большем показателе степень числа $$\frac12$$ меньше. Сравним показатели:

$$1{,}4<\sqrt{2}\approx 1{,}41.$$

Следовательно,

$$\left(\frac12\right)^{1{,}4}>\left(\frac12\right)^{\sqrt{2}}.$$

4) Так как $$\frac19<1,$$ то при большем показателе степень числа $$\frac19$$ меньше. Поскольку

$$\pi\approx 3{,}1415>3{,}14,$$

получаем

$$\left(\frac19\right)^{\pi}<\left(\frac19\right)^{3{,}14}.$$

Ответ

$$4^{-\sqrt{3}}<4^{-\sqrt{2}},\qquad 2^{\sqrt{3}}>2^{1{,}7},\qquad \left(\frac12\right)^{1{,}4}>\left(\frac12\right)^{\sqrt{2}},\qquad \left(\frac19\right)^{\pi}<\left(\frac19\right)^{3{,}14}.$$