Упр.244 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить систему (244—245).

244. 1) $$\begin{cases}5^{2x+1}>625,\\11^{6x^2-10x}=11^{9x-15};\end{cases}$$
     2) $$\begin{cases}(0{,}3)^{10x^2-47x}=(0{,}3)^{-10x-7},\\(3{,}7)^{x^2}=(3{,}7)^{0{,}04}.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}. \end{cases}$$

Так как $$625=5^4,$$ то

$$5^{2x+1} > 5^4 \Rightarrow 2x+1 > 4 \Rightarrow x > \frac{3}{2}.$$

Из второго уравнения получаем:

$$6x^2-10x=9x-15,$$

$$6x^2-19x+15=0.$$

Найдём корни:

$$D=19^2-4\cdot 6\cdot 15=361-360=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{19\pm 1}{12}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}, \qquad x_2=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}.$$

С учётом условия $$x>\frac{3}{2}$$ подходит только $$x=\frac{5}{3}.$$

2) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 0{,}3^{10x^2-47x} = 0{,}3^{-10x-7}, \\ 3{,}7^{x^2} = 3{,}7^{0{,}04}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$10x^2-47x=-10x-7,$$

$$10x^2-37x+7=0.$$

Найдём корни:

$$D=37^2-4\cdot 10\cdot 7=1369-280=1089,$$

$$x_{1,2}=\frac{37\pm 33}{20}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}, \qquad x_2=\frac{70}{20}=\frac{7}{2}.$$

Из второго уравнения:

$$x^2=0{,}04,$$

$$x=\pm 0{,}2.$$

Общее решение системы:

$$x=\frac{1}{5}.$$

Ответ: 1) $$\frac{5}{3}$$; 2) $$\frac{1}{5}$$.