Упр.243 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\begin{cases}5^x-5^y=100,\\5^{x-1}+5^{y-1}=30;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}2^x-9\cdot3^y=7,\\2^x\cdot3^y=\frac{8}{9};\end{cases}$$
- $$\begin{cases}16^y-16^x=24,\\16^{x+y}=256;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}3^x+2^{x+y+1}=5,\\3^{x+1}-2^{x+y}=1;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}5^{x+1}\cdot3^y=75,\\3^x\cdot5^{y-1}=3;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}3^x\cdot2^y=4,\\3^y\cdot2^x=9.\end{cases}$$
1) Введём замену: $$u=5^x,\quad z=5^y.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} u-z=100,\\ \dfrac{u}{5}+\dfrac{z}{5}=30. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$5$$:
$$u+z=150.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} u-z=100,\\ u+z=150. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2u=250,\quad u=125.$$
Тогда $$z=150-125=25.$$
Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:
$$5^x=125=5^3 \Rightarrow x=3,$$
$$5^y=25=5^2 \Rightarrow y=2.$$
2) Введём замену: $$u=2^x,\quad z=3^y.$$ Тогда
$$\begin{cases} u-9z=7,\\ uz=\dfrac{8}{9}. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$u=7+9z$$. Подставим во второе:
$$z(7+9z)=\dfrac{8}{9}.$$
Умножим на $$9$$:
$$81z^2+63z-8=0.$$
Дискриминант:
$$D=63^2-4\cdot81\cdot(-8)=3969+2592=6561=81^2.$$
Тогда
$$z=\frac{-63\pm81}{162}.$$
Получаем $$z=\dfrac19$$ или $$z=-\dfrac89$$. Так как $$z=3^y>0$$, подходит только
$$z=\dfrac19.$$
Тогда
$$u=7+9\cdot\dfrac19=8.$$
Возвращаемся к переменным:
$$2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3,$$
$$3^y=\dfrac19=3^{-2} \Rightarrow y=-2.$$
3) Введём замену: $$u=16^x,\quad z=16^y.$$ Тогда
$$\begin{cases} z-u=24,\\ uz=256. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$z=24+u$$. Подставим во второе:
$$u(24+u)=256,$$
$$u^2+24u-256=0.$$
Дискриминант:
$$D=24^2+4\cdot256=576+1024=1600.$$
Тогда
$$u=\frac{-24\pm40}{2}.$$
Получаем $$u=8$$ или $$u=-32$$. Так как $$u=16^x>0$$, подходит только $$u=8$$.
Тогда $$z=24+8=32.$$
Возвращаемся к переменным:
$$16^x=8=2^3,\quad 16=2^4 \Rightarrow 2^{4x}=2^3 \Rightarrow x=\frac34,$$
$$16^y=32=2^5,\quad 2^{4y}=2^5 \Rightarrow y=\frac54.$$
4) Введём замену: $$u=3^x,\quad z=2^{x+y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} u+2z=5,\\ 3u-z=1. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$u=5-2z.$$ Подставим во второе:
$$3(5-2z)-z=1,$$
$$15-7z=1,$$
$$z=2.$$
Тогда $$u=5-2\cdot2=1.$$
Возвращаемся к переменным:
$$3^x=1=3^0 \Rightarrow x=0,$$
$$2^{x+y}=2 \Rightarrow x+y=1 \Rightarrow y=1.$$
5) Перемножим уравнения системы:
$$\begin{cases} 5^{x+1}\cdot3^y=75,\\ 3^x\cdot5^{y-1}=3. \end{cases}$$
Получим
$$5^{x+1}\cdot5^{y-1}\cdot3^y\cdot3^x=75\cdot3,$$
$$5^{x+y}\cdot3^{x+y}=225,$$
$$15^{x+y}=15^2,$$
откуда $$x+y=2.$$
Из второго уравнения:
$$3^x\cdot5^{y-1}=3,$$
подставим $$y=2-x$$:
$$3^x\cdot5^{1-x}=3,$$
$$3^x\cdot\frac{5}{5^x}=3,$$
$$\left(\frac35\right)^x=\frac35,$$
значит $$x=1,$$ тогда $$y=1.$$
6) Перемножим уравнения:
$$\begin{cases} 3^x\cdot2^y=4,\\ 3^y\cdot2^x=9. \end{cases}$$
Получим
$$3^{x+y}\cdot2^{x+y}=36,$$
$$6^{x+y}=6^2,$$
откуда $$x+y=2.$$
Тогда $$y=2-x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$3^x\cdot2^{2-x}=4,$$
$$3^x\cdot\frac{4}{2^x}=4,$$
$$\left(\frac32\right)^x=1,$$
значит $$x=0,$$ тогда $$y=2.$$
Ответ
1) $$\left(3;\,2\right)$$; 2) $$\left(3;\,-2\right)$$; 3) $$\left(\dfrac34;\,\dfrac54\right)$$; 4) $$\left(0;\,1\right)$$; 5) $$\left(1;\,1\right)$$; 6) $$\left(0;\,2\right)$$.
