Упр.239 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. 1) $$0{,}4^x-2{,}5^{x+1}>1{,}5$$;
   2) $$25\cdot 0{,}04^{2x}>0{,}2^{x(3-x)}$$;
   3) $$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$;
   4) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x-32\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1}<0$$.

1) $$0{,}4^x-2{,}5^{x+1}>1{,}5$$

$$\left(\frac25\right)^x-2{,}5\left(\frac52\right)^x-1{,}5>0$$

Сделаем замену:

$$y=\left(\frac25\right)^x,\qquad \left(\frac52\right)^x=\frac1y$$

Тогда

$$y-\frac{2{,}5}{y}-1{,}5>0$$

Умножим на $$y>0$$:

$$y^2-1{,}5y-2{,}5>0$$

$$2y^2-3y-5>0$$

$$D=3^2+4\cdot2\cdot5=49$$

$$y_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{3+7}{4}=\frac52$$

Так как $$y>0$$, получаем $$y>\frac52$$.

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac25\right)^x>\frac52=\left(\frac25\right)^{-1}$$

Так как $$\frac25<1$$, то

$$x<-1$$

2) $$25\cdot0{,}04^{2x}>0{,}2^{x(3-x)}$$

$$0{,}04^{2x}>\frac1{25}\cdot0{,}2^{x(3-x)}$$

$$\left(\frac1{25}\right)^{2x}>\left(\frac15\right)^2\cdot\left(\frac15\right)^{x(3-x)}$$

$$\left(\frac15\right)^{4x}>\left(\frac15\right)^{2+3x-x^2}$$

Так как $$\frac15<1$$, то

$$4x<2+3x-x^2$$

$$x^2+x-2<0$$

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

Следовательно,

$$-2<x<1$$

3) $$\frac{4^x}{4^x-3^x}<4$$

Обозначим $$t=\left(\frac34\right)^x$$. Тогда

$$\frac{1}{1-t}<4$$

Рассмотрим случаи:

• если $$1-t>0$$, то $$1<4(1-t)$$, откуда $$t<\frac34$$, то есть $$\left(\frac34\right)^x<\left(\frac34\right)^1$$, значит $$x>1$$;
• если $$1-t<0$$, то левая часть отрицательна, а правая положительна, значит неравенство выполняется при $$t>1$$, то есть $$\left(\frac34\right)^x>1$$, откуда $$x<0$$.

Итак,

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>1$$

4) $$\left(\frac14\right)^x-32\left(\frac18\right)^{x^2-1}<0$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}-2^5\left(\frac12\right)^{3(x^2-1)}<0$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}<\left(\frac12\right)^{3x^2-3+5}$$

$$\left(\frac12\right)^{2x}<\left(\frac12\right)^{3x^2+2}$$

Так как $$\frac12<1$$, то

$$2x>3x^2+2$$

$$3x^2-2x-2<0$$

Найдём корни:

$$D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-2)=28$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{1\pm\sqrt7}{3}$$

Следовательно,

$$\frac{1-\sqrt7}{3}<x<\frac{1+\sqrt7}{3}$$

Ответ

1) $$x<-1$$; 2) $$-2<x<1$$; 3) $$x<0$$ или $$x>1$$; 4) $$\frac{1-\sqrt7}{3}<x<\frac{1+\sqrt7}{3}$$.