Упр.222 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{x+3}+3x=7^{x+1}+5\cdot7^x$$
2. $$3^{x+4}+3\cdot5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$$
3. $$2^{8-x}+7^{3-x}=7^{4-x}+11\cdot2^{3-x}$$
4. $$2^{x+1}+2^{x-1}-3^{x-1}=3^{x-2}-2^{x-3}+2\cdot3^{x-3}$$

1) $$3^{x+3}+3^x=7^{x+1}+5\cdot 7^x$$

$$3^x(3^3+1)=7^x(7+5)$$

$$3^x\cdot 28=7^x\cdot 12$$

$$\frac{3^x}{7^x}=\frac{12}{28}$$

$$\left(\frac{3}{7}\right)^x=\frac{3}{7}$$

Отсюда $$x=1$$.

Ответ: $$1$$.

2) $$3^{x+4}+3\cdot 5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$$

$$3^{x+3}(3-1)=5^{x+3}(5-3)$$

$$3^{x+3}\cdot 2=5^{x+3}\cdot 2$$

$$3^{x+3}=5^{x+3}$$

$$\left(\frac{3}{5}\right)^{x+3}=1$$

Следовательно, $$x+3=0$$, откуда $$x=-3$$.

Ответ: $$-3$$.

3) $$2^{8-x}+7^{3-x}=7^{4-x}+2^{3-x}\cdot 11$$

$$2^{8-x}-11\cdot 2^{3-x}=7^{4-x}-7^{3-x}$$

$$2^{3-x}(2^5-11)=7^{3-x}(7-1)$$

$$2^{3-x}\cdot 21=7^{3-x}\cdot 6$$

$$\frac{2^{3-x}}{7^{3-x}}=\frac{2}{7}$$

$$\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x}=\frac{2}{7}$$

Отсюда $$3-x=1$$, значит $$x=2$$.

Ответ: $$2$$.

4) $$2^{x+1}+2^{x-1}-3^{x-1}=3^{x-2}-2^{x-3}+2\cdot 3^{x-3}$$

$$2^{x+1}+2^{x-1}+2^{x-3}=3^{x-2}+3^{x-1}+2\cdot 3^{x-3}$$

$$2^x\left(2+\frac12+\frac18\right)=3^x\left(\frac19+\frac13+\frac{2}{27}\right)$$

$$2^x\cdot \frac{21}{8}=3^x\cdot \frac{14}{27}$$

$$\frac{2^x}{3^x}=\frac{14}{27}\cdot \frac{8}{21}$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{16}{81}=\left(\frac{2}{3}\right)^4$$

Следовательно, $$x=4$$.

Ответ: $$4$$.