Упр.217 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2^{x^2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}x}=\sqrt[4]{8}$$
2. $$5^{0{,}1x}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{-0{,}06}=5^{x^2}$$
3. $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{1-x}}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$
4. $$0{,}7^{\sqrt{x+12}}\cdot 0{,}7^{-2}=0{,}7^{\sqrt{x}}$$

1) $$2^{x^2}\cdot \left(\frac12\right)^{\frac14x}=\sqrt[4]{8}$$

$$2^{x^2}\cdot 2^{-\frac14x}=2^{\frac34}$$

$$x^2-\frac14x=\frac34$$

$$4x^2-x-3=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=49$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{8}$$

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac34$$

Ответ: $$1;\ -\frac34$$

2) $$5^{0{,}1x}\cdot \left(\frac15\right)^{-0{,}06}=5^{x^2}$$

$$5^{0{,}1x}\cdot 5^{0{,}06}=5^{x^2}$$

$$0{,}1x+0{,}06=x^2$$

$$100x^2-10x-6=0$$

$$50x^2-5x-3=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 50\cdot(-3)=625$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 25}{100}$$

$$x_1=\frac{3}{10},\quad x_2=-\frac15$$

Ответ: $$-\frac15;\ \frac{3}{10}$$

3) $$\left(\frac12\right)^{\sqrt{1-x}}\cdot \left(\frac12\right)^{-1}=\left(\frac12\right)^{2x}$$

$$\left(\frac12\right)^{\sqrt{1-x}-1}=\left(\frac12\right)^{2x}$$

$$\sqrt{1-x}-1=2x$$

$$\sqrt{1-x}=2x+1$$

$$1-x=(2x+1)^2$$

$$1-x=4x^2+4x+1$$

$$4x^2+5x=0$$

$$x(4x+5)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac54$$

Проверим область допустимых значений:

$$1-x\ge 0,\quad 2x+1\ge 0$$

$$x\le 1,\quad x\ge -\frac12$$

Подходит только $$x=0$$.

Ответ: $$0$$

4) $$0{,}7^{\sqrt{x+12}}\cdot 0{,}7^{-2}=0{,}7^{\sqrt{x}}$$

$$0{,}7^{\sqrt{x+12}-2}=0{,}7^{\sqrt{x}}$$

$$\sqrt{x+12}-2=\sqrt{x}$$

$$\sqrt{x+12}=\sqrt{x}+2$$

$$x+12=x+4\sqrt{x}+4$$

$$8=4\sqrt{x}$$

$$\sqrt{x}=2$$

$$x=4$$

Проверка области допустимых значений: $$x+12\ge 0,\ x\ge 0$$, значит $$x=4$$ подходит.

Ответ: $$4$$