Упр.213 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$9^x-4\cdot3^x+3=0$$
2. $$16^x-17\cdot4^x+16=0$$
3. $$25^x-6\cdot5^x+5=0$$
4. $$64^x-8^x-56=0$$

1) $$9^x-4\cdot 3^x+3=0$$

$$3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0$$

Сделаем замену: $$3^x=t$$, тогда получим

$$t^2-4t+3=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=3$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$3^x=1 \Rightarrow 3^x=3^0 \Rightarrow x=0$$

$$3^x=3 \Rightarrow 3^x=3^1 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$0;\ 1$$

2) $$16^x-17\cdot 4^x+16=0$$

$$4^{2x}-17\cdot 4^x+16=0$$

Сделаем замену: $$4^x=t$$, тогда

$$t^2-17t+16=0$$

$$D=(-17)^2-4\cdot 1\cdot 16=289-64=225$$

$$t_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=16$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$4^x=1 \Rightarrow 4^x=4^0 \Rightarrow x=0$$

$$4^x=16 \Rightarrow 4^x=4^2 \Rightarrow x=2$$

Ответ: $$0;\ 2$$

3) $$25^x-6\cdot 5^x+5=0$$

$$5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0$$

Сделаем замену: $$5^x=t$$, тогда

$$t^2-6t+5=0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=5$$

Возвращаемся к исходной переменной:

$$5^x=1 \Rightarrow 5^x=5^0 \Rightarrow x=0$$

$$5^x=5 \Rightarrow 5^x=5^1 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$0;\ 1$$

4) $$64^x-8^x-56=0$$

$$8^{2x}-8^x-56=0$$

Сделаем замену: $$8^x=t$$, тогда

$$t^2-t-56=0$$

Разложим на множители:

$$t^2-t-56=t^2+7t-8t-56=(t+7)(t-8)=0$$

Отсюда

$$t_1=-7,\quad t_2=8$$

Так как $$8^x>0$$ при любых $$x$$, значение $$t=-7$$ не подходит.

Остаётся:

$$8^x=8 \Rightarrow 8^x=8^1 \Rightarrow x=1$$

Ответ: $$1$$