Упр.190 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\leqslant 0$$
2. $$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac{1}{2}$$
3. $$\sqrt{3+x}>|x-3|$$
4. $$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}$$

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-13x+40}{\sqrt{19x-x^2-78}}\le 0.$$

Так как знаменатель должен быть положительным, получаем систему:

$$\begin{cases} x^2-13x+40\le 0,\\ 19x-x^2-78>0. \end{cases}$$

Разложим на множители:

$$\begin{cases} (x-5)(x-8)\le 0,\\ (x-6)(x-13)<0. \end{cases}$$

Отсюда

$$5\le x\le 8,\qquad 6<x<13.$$

Пересечение этих промежутков:

$$6<x\le 8.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{2x^2+7x-4}}{x+4}<\frac12.$$

Если $$x+4<0,$$ то левая часть отрицательна, а значит неравенство выполняется при условии существования корня:

$$2x^2+7x-4\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)\ge 0.$$

При $$x<-4$$ оно выполняется.

Если $$x+4>0,$$ то можно умножить неравенство на $$2(x+4)$$:

$$2\sqrt{2x^2+7x-4}<x+4.$$

Возводим в квадрат:

$$4(2x^2+7x-4)<(x+4)^2,$$

$$8x^2+28x-16<x^2+8x+16,$$

$$7x^2+20x-32<0.$$

Корни:

$$D=20^2+4\cdot 7\cdot 32=1296,\qquad x_1=-4,\quad x_2=\frac87.$$

Тогда

$$-4<x<\frac87.$$

С учётом условия $$x+4>0$$ и области определения $$2x^2+7x-4\ge 0$$ получаем

$$\frac12\le x<\frac87.$$

Итак, ответ:

$$x<-4\quad \text{или}\quad \frac12\le x<\frac87.$$

3) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3+x}>|x-3|.$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что левая часть неотрицательна:

$$3+x>(x-3)^2.$$

$$3+x>x^2-6x+9,$$

$$x^2-7x+6<0.$$

Разложим на множители:

$$(x-1)(x-6)<0.$$

Отсюда

$$1<x<6.$$

4) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{3-x}<\sqrt{7+x}+\sqrt{10+x}.$$

Область определения:

$$3-x\ge 0,\qquad 7+x\ge 0,\qquad 10+x\ge 0.$$

Значит, $$-7\le x\le 3.$$

Перенесём всё в одну сторону и возведём в квадрат:

$$3-x<7+x+10+x+2\sqrt{(7+x)(10+x)},$$

$$-14-3x<2\sqrt{x^2+17x+70}.$$

Если $$-14-3x<0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Это даёт

$$x>-\frac{14}{3}.$$

Если же $$-14-3x\ge 0,$$ то возводим в квадрат:

$$(-14-3x)^2<4(x^2+17x+70),$$

$$196+84x+9x^2<4x^2+68x+280,$$

$$5x^2+16x-84<0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена:

$$x=-6,\qquad x=\frac{14}{5}.$$

Следовательно,

$$-6<x<\frac{14}{5}.$$

С учётом области определения получаем итог:

$$-6<x\le 3.$$

Ответ

1) $$6<x\le 8$$

2) $$x<-4,\ \frac12\le x<\frac87$$

3) $$1<x<6$$

4) $$-6<x\le 3$$