Упр.189 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   
   1) $$\sqrt{x+1}2) $$\sqrt{1-x}>x+1$$;
   
   3) $$\sqrt{3x-2}>x-2$$;
   
   4) $$\sqrt{2x+1}\leq x+1$$.

1) $$\sqrt{x+1}<x-1$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

$$\begin{aligned} x+1 < (x-1)^2,\\ x-1 > 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$x+1 < x^2-2x+1 \\ x^2-3x > 0 \\ x(x-3) > 0.$$

С учётом условия $$x>1$$ получаем:

$$x>3.$$

Ответ: $$x>3.$$

2) $$\sqrt{1-x}>x+1$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

$$\begin{aligned} 1-x > (x+1)^2,\\ x+1 > 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$1-x > x^2+2x+1 \\ x^2+3x < 0 \\ x(x+3) < 0.$$

Отсюда

$$-3<x<0.$$

Это множество удовлетворяет и условию $$x>-1$$, поэтому

Ответ: $$-3<x<0.$$

3) $$\sqrt{3x-2}>x-2$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть положительной:

$$\begin{aligned} 3x-2 > (x-2)^2,\\ x-2 > 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$3x-2 > x^2-4x+4 \\ x^2-7x+6 < 0 \\ (x-1)(x-6) < 0.$$

Отсюда

$$1<x<6.$$

С учётом условия $$x>2$$ получаем:

Ответ: $$2<x<6.$$

4) $$\sqrt{2x+1}\le x+1$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной:

$$\begin{aligned} 2x+1 <= (x+1)^2,\\ x+1 >= 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$2x+1 \le x^2+2x+1 \\ x^2 \ge 0.$$

Неравенство $$x^2\ge 0$$ верно при любом $$x$$, поэтому остаётся только условие

$$x\ge -1.$$

Ответ: $$x\ge -1.$$