Упр.186 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений:
- $$y=2+\sqrt{x+2}$$;
- $$y=2+\sqrt{x+4}$$;
- $$y=\sqrt{3-x}-1$$;
- $$y=\sqrt{1-x}+3$$.
1) Пусть $$y=2+\sqrt{x+2}.$$
Найдём область определения исходной функции:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$
Так как $$\sqrt{x+2}\ge 0,$$ то
$$y\ge 2.$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y-2=\sqrt{x+2}$$
$$\left(y-2\right)^2=x+2$$
$$x=y^2-4y+2.$$
Значит, обратная функция:
$$y=x^2-4x+2.$$
Её область определения и множество значений:
$$x\ge 2,\quad y\ge -2.$$
2) Пусть $$y=2-\sqrt{x+4}.$$
Область определения исходной функции:
$$x+4\ge 0,\quad x\ge -4.$$
Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0,$$ то
$$y\le 2.$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$2-y=\sqrt{x+4}$$
$$\left(2-y\right)^2=x+4$$
$$x=y^2-4y.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=x^2-4x.$$
Её область определения и множество значений:
$$x\le 2,\quad y\ge -4.$$
3) Пусть $$y=\sqrt{3-x}-1.$$
Область определения исходной функции:
$$3-x\ge 0,\quad x\le 3.$$
Так как $$\sqrt{3-x}\ge 0,$$ то
$$y\ge -1.$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y+1=\sqrt{3-x}$$
$$\left(y+1\right)^2=3-x$$
$$x=2-y^2-2y.$$
Значит, обратная функция:
$$y=2-x^2-2x.$$
Её область определения и множество значений:
$$x\ge -1,\quad y\le 3.$$
4) Пусть $$y=\sqrt{1-x}+3.$$
Область определения исходной функции:
$$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$
Так как $$\sqrt{1-x}\ge 0,$$ то
$$y\ge 3.$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y-3=\sqrt{1-x}$$
$$\left(y-3\right)^2=1-x$$
$$x=6y-y^2-8.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=6x-x^2-8.$$
Её область определения и множество значений:
$$x\ge 3,\quad y\le 1.$$
Ответ
1) $$y=x^2-4x+2,$$ $$D:\ x\ge 2,$$ $$E:\ y\ge -2.$$
2) $$y=x^2-4x,$$ $$D:\ x\le 2,$$ $$E:\ y\ge -4.$$
3) $$y=2-x^2-2x,$$ $$D:\ x\ge -1,$$ $$E:\ y\le 3.$$
4) $$y=6x-x^2-8,$$ $$D:\ x\ge 3,$$ $$E:\ y\le 1.$$
