Упр.179 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\sqrt[3]{1-x}$$;
2. $$y=\sqrt[6]{2-x^2}$$;
3. $$y=(3x^2+1)^{-2}$$;
4. $$y=\sqrt{x^2-x-2}$$.

Для нахождения области определения учитываем, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

1. $$y=\sqrt[3]{1-x}$$

   Корень нечётной степени определён при любых значениях подкоренного выражения, значит

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt[6]{2-x^2}$$

   Для корня чётной степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$2-x^2\ge 0,$$

   $$x^2\le 2,$$

   $$-\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

3. $$y=(3x^2+1)^{-2}=\frac{1}{(3x^2+1)^2}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$3x^2+1\ne 0.$$

   Но при любом $$x$$ имеем $$3x^2+1>0,$$ значит, ограничений нет.

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=\sqrt{x^2-x-2}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2-x-2\ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

   Тогда

   $$(x-2)(x+1)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

Ответ:

1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$