Упр.171 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}$$
2. $$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}$$

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}.$$

Область определения: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Перенесём $$\sqrt{x}$$ вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x+1}<\sqrt{x}+\sqrt{x-1}$$

$$x+1<x+2\sqrt{x(x-1)}+x-1$$

$$2<2\sqrt{x(x-1)}$$

$$1<\sqrt{x(x-1)}$$

$$x(x-1)>1$$

$$x^2-x-1>0.$$

Корни уравнения $$x^2-x-1=0$$:

$$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

С учётом условия $$x\ge 1$$ получаем:

$$x>\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}.$$

Область определения:

$$x+3\ge 0,\quad 7-x\ge 0,\quad 10-x\ge 0,$$

откуда $$-3\le x\le 7.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+3<17-2x+2\sqrt{(7-x)(10-x)}$$

$$3x-14<2\sqrt{(7-x)(10-x)}.$$

Если $$3x-14<0,$$ то неравенство выполняется автоматически. Тогда

$$x<\frac{14}{3}.$$

Если $$x\ge \frac{14}{3},$$ возведём в квадрат:

$$\left(3x-14\right)^2<4(7-x)(10-x).$$

$$9x^2-84x+196<280-68x+4x^2$$

$$5x^2-16x-84<0.$$

Найдём корни:

$$D=(-16)^2-4\cdot 5\cdot(-84)=1936,$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 44}{10},$$

$$x_1=-\frac{14}{5},\quad x_2=6.$$

Тогда

$$-\frac{14}{5}<x<6.$$

С учётом области определения получаем:

$$-3\le x<6.$$

Ответ

1) $$x>\frac{1+\sqrt5}{2}.$$
2) $$-3\le x<6.$$