Упр.164 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}$$
2. $$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4$$

1) Обозначим

$$a=\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}, \qquad b=\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a+b=\sqrt6.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=6.$$

Подставим выражения для $$a^2$$ и $$b^2$$:

$$x+\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}+x-\sqrt{6x-9}=6.$$

Получаем

$$2x+2\sqrt{x^2-(6x-9)}=6,$$

$$x+\sqrt{x^2-6x+9}=3,$$

$$x+\sqrt{(x-3)^2}=3.$$

Так как $$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|,$$ то

$$x+|x-3|=3.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$x\ge 3,$$ то $$x+(x-3)=3,$$ откуда $$x=3;$$
• если $$x<3,$$ то $$x+(3-x)=3,$$ тождество верно.

Проверим область допустимых значений:

$$6x-9\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge \frac32,$$

$$x-\sqrt{6x-9}\ge 0.$$

При $$x\in\left[\frac32,3\right]$$ это условие выполняется, а при $$x>3$$ из уравнения получаем только $$x=3.$$

Значит, решения:

$$\frac32\le x\le 3.$$

2) Обозначим

$$a=\sqrt{x+\sqrt{x+11}}, \qquad b=\sqrt{x-\sqrt{x+11}}.$$

Тогда

$$a+b=4.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=16.$$

Подставим:

$$x+\sqrt{x+11}+2\sqrt{(x+\sqrt{x+11})(x-\sqrt{x+11})}+x-\sqrt{x+11}=16,$$

$$2x+2\sqrt{x^2-(x+11)}=16,$$

$$x+\sqrt{x^2-x-11}=8.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2-x-11}=8-x.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2-x-11=(8-x)^2,$$

$$x^2-x-11=64-16x+x^2,$$

$$15x=75,$$

$$x=5.$$

Проверка:

$$\sqrt{5+\sqrt{16}}+\sqrt{5-\sqrt{16}}=\sqrt9+\sqrt1=3+1=4.$$

Следовательно, $$x=5.$$

Ответ

1) $$\frac32\le x\le 3.$$ 2) $$x=5.$$