Упр.131 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Устно. Выяснить, является ли обратимой функция: 1) $$y=3x-1$$; 2) $$y=x^2+7$$; 3) $$y=\frac{1}{x}$$; 4) $$y=\sqrt{x}$$; 5) $$y=x^4$$; 6) $$y=x^4,\ x<0$$.

1) $$y=3x-1$$

Функция линейная, а значит, строго монотонна на всей области определения. Следовательно, она обратима.

2) $$y=x^2+7$$

Функция не является монотонной на всей области определения: например, при $$x=1$$ и $$x=-1$$ получаем одно и то же значение $$y=8$$. Значит, функция не обратима.

3) $$y=\frac{1}{x}$$

Функция обратима на своей области определения $$x\ne 0$$, так как каждому значению $$y$$ соответствует единственное значение $$x$$.

4) $$y=\sqrt{x}$$

Функция определена при $$x\ge 0$$ и строго возрастает на своей области определения. Значит, она обратима.

5) $$y=x^4$$

Функция не является взаимно однозначной на всей области определения: например, $$x=1$$ и $$x=-1$$ дают одно и то же значение $$y=1$$. Следовательно, функция не обратима.

6) $$y=x^4,\ x<0$$

При ограничении $$x<0$$ функция становится строго убывающей, а значит, каждое значение принимает только один раз. Следовательно, она обратима.

Ответ: 1) обратима; 2) не обратима; 3) обратима; 4) обратима; 5) не обратима; 6) обратима.