Упр.125 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений: 1) $$y=x^3$$ и $$y=x^{\frac{1}{3}}$$; 2) $$y=x^4$$ и $$y=x^{\frac{1}{4}}$$; 3) $$y=x^2$$ и $$y=x^{-2}$$; 4) $$y=x^5$$ и $$y=x^{-5}$$.

1) Для функции $$y=x^3$$ область определения и множество значений:

$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

Для функции $$y=x^{\frac13}$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

Обе функции нечётные, их графики симметричны относительно начала координат и проходят через точки $$(-1,-1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$. При этом графики взаимно обратны.

2) Для функции $$y=x^4$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[0;+\infty).$$

Для функции $$y=x^{\frac14}$$:

$$D(y)=[0;+\infty), \qquad E(y)=[0;+\infty).$$

График $$y=x^4$$ — чётный, проходит через точки $$(-1,1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$. График $$y=x^{\frac14}$$ определён только при $$x\ge 0$$ и является обратным к графику $$y=x^4$$ на этом промежутке.

3) Для функции $$y=x^2$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=[0;+\infty).$$

Для функции $$y=x^{-2}=\frac1{x^2}$$:

$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E(y)=(0;+\infty).$$

График $$y=x^{-2}$$ имеет две ветви, расположен выше оси $$Ox$$ и имеет асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$.

4) Для функции $$y=x^5$$:

$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$

Для функции $$y=x^{-5}=\frac1{x^5}$$:

$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$$

График $$y=x^{-5}$$ имеет две ветви, расположен в I и III координатных четвертях и имеет асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$.

Ответ

$$\begin{aligned} 1)\;& D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}\ \text{для обеих функций};\\ 2)\;& D(x^4)=\mathbb{R},\ E(x^4)=[0;+\infty),\quad D(x^{1/4})=[0;+\infty),\ E(x^{1/4})=[0;+\infty);\\ 3)\;& D(x^2)=\mathbb{R},\ E(x^2)=[0;+\infty),\quad D(x^{-2})=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(x^{-2})=(0;+\infty);\\ 4)\;& D(x^5)=\mathbb{R},\ E(x^5)=\mathbb{R},\quad D(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ E(x^{-5})=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \end{aligned}$$