Упр.1041 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. $$y=x^3-3x^2-9x+1$$, $$x=0$$, $$y=6$$ (при $$x<0$$);
2. $$y=x^4-2x^2+5$$, $$y=1$$, $$x=0$$, $$x=1$$.

1) Найдём точки пересечения графика $$y=x^3-3x^2-9x+1$$ с прямой $$y=6$$:

$$x^3-3x^2-9x+1=6,$$

$$x^3-3x^2-9x-5=0,$$

$$x=-1.$$

Тогда искомая площадь равна

$$S=\int_{-1}^{0}\bigl(6-(x^3-3x^2-9x+1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{0}(5-x^3+3x^2+9x)\,dx.$$

$$S=\left(5x-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =0-\left(-5-\frac14-1+\frac92\right) =\frac74.$$

2) Для фигуры, ограниченной линиями $$y=x^4-2x^2+5,$$ $$y=1,$$ $$x=0,$$ $$x=1,$$ площадь находим по формуле:

$$S=\int_{0}^{1}\bigl((x^4-2x^2+5)-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}(x^4-2x^2+4)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+4x\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac15-\frac23+4 =\frac{53}{15}.$$

Ответ

1) $$\frac74$$; 2) $$\frac{53}{15}$$.