Упр.1013 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них.

Воспользуемся формулой площади криволинейной трапеции:

$$S=\int_a^b f(x)\,dx$$

1. $$S=\int_{-1}^{1}(x^2+4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}+4x\right)\Bigg|_{-1}^{1}$$

   $$=\left(\frac{1}{3}+4\right)-\left(-\frac{1}{3}-4\right)=\frac{1}{3}+4+\frac{1}{3}+4=8\frac{2}{3}$$

2. $$S=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}+1)\,dx=\int_{0}^{1}(x^{1/2}+1)\,dx$$

   $$=\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}+x\right)\Bigg|_{0}^{1}=\frac{2}{3}+1=1\frac{2}{3}$$

3. $$S=\int_{1}^{4}\frac{2}{x}\,dx=2\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx=2\ln x\Bigg|_{1}^{4}$$

   $$=2\ln 4-2\ln 1=2\ln 4$$

Ответ: а) $$8\frac{2}{3}$$; б) $$1\frac{2}{3}$$; в) $$2\ln 4$$.