Упр.1000 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$:

1. 1) $$a=2$$, $$b=4$$, $$f(x)=x^3$$;
   2) $$a=3$$, $$b=4$$, $$f(x)=x^2$$;
   3) $$a=-2$$, $$f(x)=1$$, $$f(x)=x^2+1$$;
   4) $$a=0$$, $$b=2$$, $$f(x)=x^3+1$$;
   5) $$a=\frac{\pi}{3}$$, $$b=\frac{2\pi}{3}$$, $$f(x)=\sin x$$;
   6) $$a=-\frac{\pi}{6}$$, $$b=0$$, $$f(z)=\cos x$$.

1) $$S=\int_{2}^{4}x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{2}^{4}=\frac{4^4-2^4}{4}=\frac{256-16}{4}=60.$$

Ответ: $$60.$$

2) $$S=\int_{3}^{4}x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{3}^{4}=\frac{4^3-3^3}{3}=\frac{64-27}{3}=\frac{37}{3}.$$

Ответ: $$\frac{37}{3}.$$

3) $$S=\int_{-2}^{1}(x^2+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|_{-2}^{1}=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(-\frac{8}{3}-2\right)=6.$$

Ответ: $$6.$$

4) $$S=\int_{0}^{2}(x^3+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\right|_{0}^{2}=\frac{16}{4}+2=6.$$

Ответ: $$6.$$

5) $$S=\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_{\pi/3}^{2\pi/3}=-\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

Ответ: $$1.$$

6) $$S=\int_{-\pi/6}^{0}\cos x\,dx=\left.\sin x\right|_{-\pi/6}^{0}=\sin 0-\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}.$$