Упр.1615 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1.$$

Решение

Перенесём $$-1$$ в левую часть:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}+1<0,$$

$$\frac{4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<0.$$

Найдём область допустимых значений:

$$x^2+3x-4\ge 0,$$

$$x\ne 3.$$

Решим неравенство для подкоренного выражения:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;+\infty).$$

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя.

1) Если $$x>3,$$ то $$x-3>0,$$ и нужно, чтобы

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}<0.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4.$$

Правая часть должна быть положительной, значит $$x>2.$$

Возводим в квадрат:

$$x^2+3x-4<4x^2-16x+16,$$

$$3x^2-19x+20>0,$$

$$(3x-4)(x-5)>0.$$

Отсюда

$$x<\frac43 \quad \text{или} \quad x>5.$$

С учётом $$x>3$$ получаем:

$$x>5.$$

2) Если $$x<3,$$ то $$x-3<0,$$ и нужно, чтобы

$$4-2x+\sqrt{x^2+3x-4}>0.$$

Если $$x<2,$$ то $$2x-4<0,$$ и неравенство выполняется при всех допустимых $$x.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;2).$$

Если $$2\le x<3,$$ то из

$$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4$$

после возведения в квадрат получаем

$$x^2+3x-4>4x^2-16x+16,$$

$$3x^2-19x+20<0,$$

$$\left(3x-4\right)(x-5)<0,$$

откуда

$$\frac43<x<5.$$

С учётом $$2\le x<3$$ получаем:

$$2\le x<3.$$

Объединяя все найденные промежутки, имеем:

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-4]\cup[1;3)\cup(5;+\infty).$$