Упр.1608 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Система
   $$\begin{cases} 27-3^{2x-y}+3x^2=4\sqrt{3},\\ \lg(y-4x)=2\lg(2+2x-y)-\lg y. \end{cases}$$
2. Система
   $$\begin{cases} 8\cdot 2^{-x-2y}+2y^2=3\sqrt{2},\\ \lg(x+4y)=2\lg(2-x-2y)-\lg x. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 27\cdot 3^{2x-y}+3x^2=4\sqrt3,\\ \lg(y-4x)=2\lg(2+2x-y)-\lg y. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\lg(y-4x)=\lg(2+2x-y)^2-\lg y=\lg\frac{(2+2x-y)^2}{y}.$$

Тогда

$$y-4x=\frac{(2+2x-y)^2}{y}.$$

Умножим на $$y$$:

$$y(y-4x)=(2+2x-y)^2.$$

Раскроем скобки:

$$y^2-4xy=4+8x+4x^2-4y-4xy+y^2.$$

Отсюда

$$4x^2+8x-4y+4=0,$$

$$x^2+2x-y+1=0,$$

$$y=(x+1)^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$27\cdot 3^{2x-(x+1)^2}+3x^2=4\sqrt3.$$

Так как

$$2x-(x+1)^2=-x^2-1,$$

получаем

$$27\cdot 3^{-x^2-1}+3x^2=4\sqrt3.$$

$$3^{2-x^2}+3^{x^2}=4\sqrt3.$$

Пусть $$z=3^{x^2}$$, тогда $$3^{2-x^2}=\dfrac{9}{z}$$. Получаем:

$$\frac{9}{z}+z=4\sqrt3.$$

$$z^2-4\sqrt3\,z+9=0.$$

$$D=(4\sqrt3)^2-4\cdot 9=48-36=12.$$

$$z_{1,2}=\frac{4\sqrt3\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{4\sqrt3\pm 2\sqrt3}{2}.$$

$$z_1=\sqrt3,\qquad z_2=3\sqrt3.$$

1. Если $$3^{x^2}=\sqrt3=3^{1/2}$$, то

$$x^2=\frac12,\qquad x=\pm\frac1{\sqrt2}.$$

Тогда

$$y=(x+1)^2=\left(1\pm\frac1{\sqrt2}\right)^2=\frac32\pm\sqrt2.$$

2. Если $$3^{x^2}=3\sqrt3=3^{3/2}$$, то

$$x^2=\frac32,\qquad x=\pm\sqrt{\frac32}.$$

Тогда

$$y=(x+1)^2=\left(1\pm\sqrt{\frac32}\right)^2=\frac52\pm\sqrt6.$$

Проверяем область допустимых значений:

$$y-4x>0,\qquad 2+2x-y>0,\qquad y>0.$$

Подходят только точки

$$\left(\frac1{\sqrt2},\frac32+\sqrt2\right),\qquad \left(-\frac1{\sqrt2},\frac32-\sqrt2\right).$$

Ответ

$$\left(\frac1{\sqrt2};\frac32+\sqrt2\right),\ \left(-\frac1{\sqrt2};\frac32-\sqrt2\right)$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 8\cdot 2^{-x-2y}+2y^2=3\sqrt2,\\ \lg(x+4y)=2\lg(2-x-2y)-\lg x. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\lg(x+4y)=\lg(2-x-2y)^2-\lg x=\lg\frac{(2-x-2y)^2}{x}.$$

Следовательно,

$$x+4y=\frac{(2-x-2y)^2}{x}.$$

Умножим на $$x$$:

$$x(x+4y)=(2-x-2y)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4xy=4-4x-4y+x^2+4xy+4y^2.$$

Отсюда

$$4y^2-4x-8y+4=0,$$

$$y^2-x-2y+1=0,$$

$$x=(y-1)^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$8\cdot 2^{-(y-1)^2-2y}+2y^2=3\sqrt2.$$

Так как

$$-(y-1)^2-2y=-y^2-1,$$

получаем

$$8\cdot 2^{-y^2-1}+2y^2=3\sqrt2.$$

$$2^{2-y^2}+2y^2=3\sqrt2.$$

Пусть $$z=2^{y^2}$$, тогда $$2^{2-y^2}=\dfrac{4}{z}$$. Имеем:

$$\frac{4}{z}+z=3\sqrt2.$$

$$z^2-3\sqrt2\,z+4=0.$$

$$D=(3\sqrt2)^2-16=18-16=2.$$

$$z_{1,2}=\frac{3\sqrt2\pm\sqrt2}{2}.$$

$$z_1=\sqrt2,\qquad z_2=2\sqrt2.$$

1. Если $$2^{y^2}=\sqrt2=2^{1/2}$$, то

$$y^2=\frac12,\qquad y=\pm\frac1{\sqrt2}.$$

Тогда

$$x=(y-1)^2=\left(\pm\frac1{\sqrt2}-1\right)^2=\frac32\mp\sqrt2.$$

2. Если $$2^{y^2}=2\sqrt2=2^{3/2}$$, то

$$y^2=\frac32,\qquad y=\pm\sqrt{\frac32}.$$

Тогда

$$x=(y-1)^2=\left(\pm\sqrt{\frac32}-1\right)^2=\frac52\mp\sqrt6.$$

С учётом области допустимых значений

$$x>0,\qquad x+4y>0,\qquad 2-x-2y>0,$$

подходят точки

$$\left(\frac32-\sqrt2,\frac1{\sqrt2}\right),\qquad \left(\frac32+\sqrt2,-\frac1{\sqrt2}\right).$$

Ответ

$$\left(\frac32-\sqrt2;\frac1{\sqrt2}\right),\ \left(\frac32+\sqrt2;-\frac1{\sqrt2}\right)$$