Упр.1604 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольший на интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ корень уравнения $$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0.$$

Преобразуем уравнение:

$$\cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0$$

$$-\sin 5x+2\sin x\cos 2x=0$$

По формуле произведения в сумму:

$$2\sin x\cos 2x=\sin(3x)-\sin x$$

Тогда

$$-\sin 5x+\sin 3x-\sin x=0$$

$$\sin 3x-(\sin 5x+\sin x)=0$$

Используем формулу

$$\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x$$

Получаем:

$$\sin 3x-2\sin 3x\cos 2x=0$$

$$\sin 3x(1-2\cos 2x)=0$$

Отсюда:

1. $$\sin 3x=0$$, тогда $$3x=\pi n$$, $$x=\frac{\pi n}{3}$$;
2. $$1-2\cos 2x=0$$, тогда $$\cos 2x=\frac12$$, $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n$$.

Найдём корни на интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$:

из первого семейства получаем $$x=0,\ \frac{\pi}{3}$$;

из второго семейства получаем $$x=\frac{\pi}{6}$$.

Наибольший из них:

$$x=\frac{\pi}{3}$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3}$$