Упр.1601 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\frac{2\sin x}{\cos x-\cos 3x}-\frac{1}{3}=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

$$\frac{2\sin x}{\cos x-\cos 3x}-\frac13=4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Используем формулы:

$$\cos x-\cos 3x=-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\sin x,$$

$$4\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4\cdot\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=2(1+\sin 2x).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{2\sin x}{2\sin 2x\sin x}-\frac13=2(1+\sin 2x),$$

то есть

$$\frac{1}{\sin 2x}-\frac13=2(1+\sin 2x).$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$3\sin 2x$$:

$$3-\sin 2x-3\sin 2x(2+2\sin 2x)=0,$$

$$3-\sin 2x-6\sin 2x-6\sin^2 2x=0,$$

$$6\sin^2 2x+7\sin 2x-3=0.$$

Обозначим $$y=\sin 2x$$. Тогда

$$6y^2+7y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121,$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac32.$$

Так как $$\sin 2x\in[-1;1],$$ значение $$-\frac32$$ не подходит. Значит,

$$\sin 2x=\frac13.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в нуль, то есть

$$\cos x-\cos 3x\ne 0.$$

При найденных значениях $$x$$ это условие выполняется, так как $$\sin 2x=\frac13\ne 0.$$

Ответ

$$x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$