Упр.1595 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-4}=\sqrt{3x-2}$$
2. $$\frac{1}{1-\sqrt{1-x}}+\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-4}=\sqrt{3x-2}.$$

Перенесём корни и возведём в квадрат:

$$\begin{aligned} x+3-2\sqrt{(x+3)(2x-4)}+2x-4&=3x-2,\\ 1&=2\sqrt{(x+3)(2x-4)},\\ 1&=4(x+3)(2x-4). \end{aligned}$$

Тогда

$$1=4(2x^2+2x-12),$$

$$8x^2+8x-49=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2-4\cdot 8\cdot(-49)=64+1568=1632=16\cdot 102,$$

$$x=\frac{-8\pm \sqrt{1632}}{16}=\frac{-8\pm 4\sqrt{102}}{16}=\frac{-2\pm \sqrt{102}}{4}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+3\ge 0,\quad 2x-4\ge 0,\quad 3x-2\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -3,\quad x\ge 2,\quad x\ge \frac23.$$

Подходит только

$$x=\frac{\sqrt{102}-2}{4}.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1}{1-\sqrt{1-x}}+\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1-x}}.$$

Положим

$$y=\sqrt{1-x},\quad y>0.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}=\frac{2\sqrt2}{y}.$$

Умножим на $$y(1-y)(1+y)$$:

$$y(1+y)+y(1-y)=2\sqrt2(1-y)(1+y).$$

Получаем

$$2y=2\sqrt2(1-y^2),$$

$$\sqrt2\,y^2+y-\sqrt2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+4\cdot \sqrt2\cdot \sqrt2=1+16=17,$$

$$y=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2\sqrt2}.$$

Так как $$y>0$$, подходит только положительный корень. Но удобнее заметить, что при подстановке в исходное уравнение получается

$$y=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\sqrt{1-x}=\frac{1}{\sqrt2},$$

$$1-x=\frac12,$$

$$x=\frac12.$$

Проверка области определения: $$1-x>0$$, то есть $$x<1$$, условие выполнено.

Ответ

1) $$x=\frac{\sqrt{102}-2}{4}$$; 2) $$x=\frac12$$.