Упр.1593 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Через точку графика функции $$y=\sqrt{x}$$ с абсциссой $$a$$, где $$\frac{1}{2}\le a\le 2$$, проведена касательная к этому графику. Найти значение $$a$$, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $$Ox$$ и прямой $$x=3$$, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.

Подробный ответ

Пусть касательная к графику $$y=\sqrt{x}$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$, где $$\frac12\le a\le 2$$.

Найдём уравнение касательной. Так как

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}, \qquad f(a)=\sqrt{a},$$

то

$$y-\sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Преобразуем:

$$y=\sqrt{a}+\frac{x-a}{2\sqrt{a}}=\frac{x+a}{2\sqrt{a}}.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями.

При $$x=3$$ получаем

$$y=\frac{a+3}{2\sqrt{a}}.$$

При $$y=0$$:

$$\frac{x+a}{2\sqrt{a}}=0 \quad \Rightarrow \quad x=-a.$$

Значит, основание треугольника на оси $$Ox$$ равно

$$|-a|+3=a+3,$$

а высота равна

$$\frac{a+3}{2\sqrt{a}}.$$

Тогда площадь треугольника

$$S(a)=\frac12\cdot (a+3)\cdot \frac{a+3}{2\sqrt{a}}=\frac{(a+3)^2}{4\sqrt{a}}.$$

Исследуем эту функцию на минимум:

$$S(a)=\frac14(a+3)^2a^{-1/2}.$$

Тогда

$$S'(a)=\frac{3a^2+6a-9}{8a\sqrt{a}}=\frac{3(a+3)(a-1)}{8a\sqrt{a}}.$$

На отрезке $$\frac12\le a\le 2$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$a-1$$. Следовательно, минимум достигается при

$$a=1.$$

Найдём наименьшую площадь:

$$S_{\min}=S(1)=\frac{(1+3)^2}{4\sqrt{1}}=\frac{16}{4}=4.$$