Упр.1592 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$f(x)=0{,}5x^2-2x+2$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x-2$$

Уравнения касательных в точках $$A(1;\tfrac12)$$ и $$B(4;2)$$:

$$f'(1)=1-2=-1,\qquad f(1)=0{,}5-2+2=0{,}5$$

$$y-0{,}5=-1(x-1),\qquad y=1{,}5-x$$

$$f'(4)=4-2=2,\qquad f(4)=8-8+2=2$$

$$y-2=2(x-4),\qquad y=2x-6$$

Найдём абсциссу точки пересечения касательных:

$$1{,}5-x=2x-6$$

$$3x=7{,}5,\qquad x=2{,}5$$

Тогда площадь искомой фигуры равна

$$S=\int\limits_{1}^{2{,}5}\bigl((0{,}5x^2-2x+2)-(1{,}5-x)\bigr)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}\bigl((0{,}5x^2-2x+2)-(2x-6)\bigr)\,dx$$

$$=\int\limits_{1}^{2{,}5}(0{,}5x^2-x+0{,}5)\,dx+\int\limits_{2{,}5}^{4}(0{,}5x^2-4x+8)\,dx$$

$$=\left(\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right)\Bigg|_{1}^{2{,}5}+\left(\frac{x^3}{6}-2x^2+8x\right)\Bigg|_{2{,}5}^{4}$$

$$=\frac{9}{8}$$

Ответ

$$\frac{9}{8}$$