Упр.1581 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=\frac{2}{(x-1)(x-3)}$$

Область определения:

$$x\ne 1,\quad x\ne 3,$$

то есть

$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=2\cdot\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^{-1}{}’=-2\cdot\frac{2x-4}{\bigl((x-1)(x-3)\bigr)^2}=\frac{8-4x}{(x^2-4x+3)^2}.$$

Так как знаменатель положителен на области определения, знак производной определяется числителем:

$$8-4x>0 \iff x<2.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1)\cup(1;2)$$ и убывает на $$(2;3)\cup(3;+\infty).$$

Стационарная точка:

$$x=2,\qquad y(2)=\frac{2}{(2-1)(2-3)}=-2.$$

Значит, в точке $$x=2$$ функция имеет максимум, причём $$y_{\max}=-2.$$

2) $$y=\frac{1}{\cos x}$$

Область определения:

$$\cos x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Производная:

$$y’=\bigl(\cos x\bigr)^{-1}{}’=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.$$

Так как $$\cos^2 x>0,$$ знак производной совпадает со знаком $$\sin x.$$ Поэтому функция возрастает при

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и убывает при

$$\pi+2\pi n<x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Стационарные точки:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При чётных $$n$$ получаем минимумы:

$$y(2\pi n)=\frac{1}{\cos 2\pi n}=1,$$

при нечётных $$n$$ — максимумы:

$$y((2n+1)\pi)=\frac{1}{\cos((2n+1)\pi)}=-1.$$

3) $$y=\frac{1}{\ln x}$$

Область определения:

$$x>0,\qquad \ln x\ne 0,$$

то есть

$$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=\bigl(\ln x\bigr)^{-1}{}’=-\frac{1}{x\ln^2 x}.$$

На области определения $$x>0$$ и $$\ln^2 x>0,$$ значит

$$y'<0.$$

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков $$(0;1)$$ и $$(1;+\infty).$$

Кроме того,

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\ln x}=0,$$

а при $$0<x<1$$ имеем $$\ln x<0,$$ значит $$y<0.$$