Упр.1579 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При всех $$a$$ решить неравенство $$|x-5a|\le 4a-3$$ и указать все значения $$a$$, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства $$x^2-4x-5<0$$.

Рассмотрим неравенство $$|x-5a|\le 4a-3.$$

Чтобы оно имело решения, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была неотрицательной:

$$4a-3\ge 0,\qquad a\ge \frac34.$$

Если $$a=\frac34,$$ то

$$|x-5a|=0,$$

откуда

$$x=5a=\frac{15}{4}.$$

Если $$a>\frac34,$$ то

$$-(4a-3)\le x-5a\le 4a-3,$$

то есть

$$5a-(4a-3)\le x\le 5a+(4a-3),$$

$$a+3\le x\le 9a-3.$$

Теперь найдём, при каких значениях $$a$$ все решения этого неравенства являются решениями неравенства

$$x^2-4x-5<0.$$

Решим его:

$$x^2-4x-5=(x+1)(x-5),$$

откуда

$$-1<x<5.$$

Требуем, чтобы множество решений первого неравенства целиком лежало в интервале $$(-1;5).$$

При $$a=\frac34$$ получаем $$x=\frac{15}{4},$$ и это число действительно принадлежит интервалу $$(-1;5).$$

При $$a>\frac34$$ нужно, чтобы

$$a+3>-1,\qquad 9a-3<5.$$

Из первого неравенства получаем $$a>-4,$$ что выполняется автоматически при $$a>\frac34.$$

Из второго:

$$9a<8,\qquad a<\frac89.$$

Итак, вместе с условием $$a\ge \frac34$$ получаем

$$\frac34\le a<\frac89.$$

Ответ

$$\frac34\le a<\frac89.$$