Упр.1573 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$3\log_x 2=y\log_5(y),\qquad 2\log_y 3=x\log_7(x)$$

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^{\log_x 2}=y^{\log_5 y},\\ 2^{\log_y 3}=x^{\log_7 x}. \end{cases}$$

Перепишем уравнения, используя свойство $$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$$:

$$\begin{cases} \log_x 2=\log_y y\cdot \log_3 y,\\ \log_y 3=\log_x x\cdot \log_2 x. \end{cases}$$

Удобнее перейти к логарифмам по основаниям $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$7$$:

$$\begin{cases} \dfrac{\log_2 2}{\log_2 x}=\log_5 y\cdot \log_3 y,\\[6pt] \dfrac{\log_3 3}{\log_3 y}=\log_7 x\cdot \log_2 x. \end{cases}$$

Так как $$\log_2 2=\log_3 3=1$$, получаем

$$\begin{cases} \dfrac{1}{\log_2 x}=\log_5 y\cdot \log_3 y,\\[6pt] \dfrac{1}{\log_3 y}=\log_7 x\cdot \log_2 x. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$\log_2 x=\dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}, \qquad x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\dfrac{1}{\log_3 y} = \log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) \cdot \log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right).$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_7\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) = \dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}\cdot \log_7 2,$$

$$\log_2\!\left(2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}\right) = \dfrac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}.$$

Тогда

$$\dfrac{1}{\log_3 y} = \dfrac{\log_7 2}{(\log_5 y)^2(\log_3 y)^2}.$$

Отсюда

$$(\log_5 y)^2\log_3 y=\log_7 2.$$

Переходим к логарифмам по основанию $$5$$:

$$\log_3 y=\dfrac{\log_5 y}{\log_5 3}.$$

Тогда

$$(\log_5 y)^3=\log_5 3\cdot \log_7 2,$$

и значит

$$\log_5 y=\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}.$$

Следовательно,

$$y=5^{\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}}.$$

Теперь найдём $$x$$:

$$x=2^{\frac{1}{\log_5 y\cdot \log_3 y}}.$$

Так как

$$\log_3 y=\frac{\log_5 y}{\log_5 3},$$

то

$$\log_5 y\cdot \log_3 y=\frac{(\log_5 y)^2}{\log_5 3}.$$

Подставляя $$\log_5 y=\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}$$, получаем

$$\log_5 y\cdot \log_3 y = \frac{\left(\log_5 3\cdot \log_7 2\right)^{2/3}}{\log_5 3} = \frac{(\log_5 3\cdot \log_7 2)^{2/3}}{\log_5 3}.$$

Значит

$$x=2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3\cdot \log_7 2)^{2/3}}}.$$

Ответ: $$\left(2^{\frac{\log_5 3}{(\log_5 3\cdot \log_7 2)^{2/3}}};\ 5^{\sqrt[3]{\log_5 3\cdot \log_7 2}}\right).$$