Упр.1572 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Система $$\begin{cases}6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1.\end{cases}$$

Положим $$u=\cos x\sin y,\qquad v=\sin x\cos y.$$ Тогда система примет вид

$$\begin{cases} 6v+2u=-3,\\ 5v-3u=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$u$$:

$$u=-\dfrac{3}{2}-3v.$$

Подставим во второе:

$$5v-3\left(-\dfrac{3}{2}-3v\right)=1,$$

$$5v+\dfrac{9}{2}+9v=1,$$

$$14v=-\dfrac{7}{2},\qquad v=-\dfrac14.$$

Тогда

$$u=-\dfrac{3}{2}-3\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac34.$$

Следовательно,

$$\begin{cases} \sin x\cos y=-\dfrac14,\\ \cos x\sin y=-\dfrac34. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=-1,$$

то есть

$$\sin(x+y)=-1.$$

Отсюда

$$x+y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\cos x\sin y-\sin x\cos y=\dfrac12,$$

то есть

$$\sin(y-x)=\dfrac12.$$

Значит,

$$y-x=(-1)^m\dfrac{\pi}{6}+\pi m,\qquad m\in\mathbb Z.$$

Решая систему

$$\begin{cases} x+y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ y-x=(-1)^m\dfrac{\pi}{6}+\pi m, \end{cases}$$

получаем

$$x=-\dfrac{\pi}{4}+(-1)^m\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi m}{2}+\pi n,$$

$$y=-\dfrac{\pi}{4}+(-1)^{m+1}\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi m}{2}+\pi n, \qquad m,n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\left( -\dfrac{\pi}{4}+(-1)^m\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi m}{2}+\pi n;\; -\dfrac{\pi}{4}+(-1)^{m+1}\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi m}{2}+\pi n \right),\qquad m,n\in\mathbb Z.$$