Упр.1571 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить системы уравнений (1571—1573).
а) $$\begin{cases}x^y=y^x,\\x^3=y^2;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x\sqrt{x}=y,\\y\sqrt{y}=x^4;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{3},\\\cos 2\pi x-\sin 2\pi y=\frac{1}{2}.\end{cases}$$
1) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^y=y^x,\\ x^3=y^2. \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем
$$x=y^{\frac23}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\left(y^{\frac23}\right)^y=y^{y^{\frac23}}.$$
Тогда
$$y^{\frac{2y}{3}}=y^{y^{\frac23}},$$
откуда
$$y^{\frac23}-\frac{2y}{3}=0.$$
Имеем
$$y^{\frac23}\left(1-\frac23y^{\frac13}\right)=0.$$
1) $$y=0$$, тогда $$x=0$$;
2) $$1-\frac23y^{\frac13}=0$$, значит
$$y^{\frac13}=\frac32,\qquad y=\left(\frac32\right)^3=\frac{27}{8},$$
$$x=\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac23}=\left(\frac32\right)^2=\frac94.$$
Кроме того, подходит и очевидное решение $$(1;1)$$.
Ответ: $$\left(\frac94;\frac{27}{8}\right),\ (1;1).$$
2) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^{\sqrt y}=y,\\ y^{\sqrt y}=x^4. \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$x=y^{\frac1{\sqrt y}}.$$
Подставим во второе:
$$y^{\sqrt y}=\left(y^{\frac1{\sqrt y}}\right)^4=y^{\frac4{\sqrt y}}.$$
Следовательно,
$$\sqrt y=\frac4{\sqrt y},$$
откуда
$$y=4.$$
Тогда
$$x=4^{\frac1{\sqrt4}}=4^{\frac12}=2.$$
Также подходит решение $$(1;1)$$.
Ответ: $$(2;4),\ (1;1).$$
3) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x-y=-\frac13,\\ \cos^2\pi x-\sin^2\pi y=\frac12. \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$x=y-\frac13.$$
Подставим во второе:
$$\cos^2\pi\left(y-\frac13\right)-\sin^2\pi y=\frac12.$$
Используем формулу
$$\cos\left(\pi y-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\pi y\cdot\cos\frac{\pi}{3}+\sin\pi y\cdot\sin\frac{\pi}{3},$$
тогда
$$\left(\frac12\cos\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin\pi y\right)^2-\sin^2\pi y=\frac12.$$
После преобразований получаем
$$\cos2\pi y+\sqrt3\sin2\pi y=2.$$
Запишем левую часть в виде одной тригонометрической функции:
$$\frac12\cos2\pi y+\frac{\sqrt3}{2}\sin2\pi y=1,$$
то есть
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+2\pi y\right)=1.$$
Значит,
$$\frac{\pi}{6}+2\pi y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Отсюда
$$2\pi y=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\frac16+n.$$
Тогда
$$x=y-\frac13=-\frac16+n.$$
Ответ: $$\left(-\frac16+n;\frac16+n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
