Упр.1568 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Уравнение $$2x^3+mx^2+nx+12=0$$ имеет корни $$x_1=1$$, $$x_2=-2$$. Найти третий корень этого уравнения.

Подставим известные корни $$x_1=1$$ и $$x_2=-2$$ в уравнение $$2x^3+mx^2+nx+12=0.$$

При $$x=1$$ получаем:

$$2\cdot 1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+12=0,$$

$$m+n+14=0.$$

При $$x=-2$$ получаем:

$$2\cdot(-2)^3+m\cdot(-2)^2+n\cdot(-2)+12=0,$$

$$-16+4m-2n+12=0,$$

$$4m-2n-4=0,$$

$$2m-n-2=0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} m+n+14=0,\\ 2m-n-2=0. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$3m+12=0,$$

$$m=-4.$$

Тогда

$$-4+n+14=0,$$

$$n=-10.$$

Искомое уравнение:

$$2x^3-4x^2-10x+12=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$x^3-2x^2-5x+6=0.$$

Так как $$x=1$$ и $$x=-2$$ — корни, разложим на множители:

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3).$$

Следовательно, третий корень:

$$x_3=3.$$

Ответ

$$3$$