Упр.1563 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

$$\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2\operatorname{ctg}4x$$
$$\frac{\sin 4x}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{2}\left(\sin x+\cos x\right)$$

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть:

$$\tg x+\ctg x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.$$

Правая часть:

$$2\ctg 4x=2\cdot\frac{\cos 4x}{\sin 4x}.$$

Тогда уравнение можно записать в виде

$$\frac{1}{\sin x\cos x}=2\ctg 4x.$$

Используем формулу

$$\ctg 4x=\frac{\ctg^2 2x-1}{2\ctg 2x}=\frac{\cos^2 2x-\sin^2 2x}{\sin 2x\cos 2x}.$$

После преобразований получаем

$$2\cos^2 2x-2\cos 2x-1=0.$$

Положим $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$2y^2-2y-1=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=12,$$

$$y=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}.$$

Значение $$\frac{1+\sqrt3}{2}$$ не подходит, так как оно больше 1. Значит,

$$\cos 2x=\frac{1-\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$2x=\pm\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac12\arccos\frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка области определения: $$\sin x\ne 0$$ и $$\cos x\ne 0$$, а найденные значения этим ограничениям не противоречат.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\sin 4x}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\sqrt2(\sin x+\cos x).$$

Так как

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt2},$$

то

$$\frac{\sqrt2\,\sin 4x}{\sin x-\cos x}=\sqrt2(\sin x+\cos x).$$

Сокращаем на $$\sqrt2$$:

$$\frac{\sin 4x}{\sin x-\cos x}=\sin x+\cos x.$$

Умножим на $$\sin x-\cos x$$:

$$\sin 4x=(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x.$$

Тогда

$$\sin 4x+\cos 2x=0.$$

Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$2\sin 2x\cos 2x+\cos 2x=0,$$

$$\cos 2x(2\sin 2x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0,$$ тогда $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ значит $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\sin 2x+1=0,$$ тогда $$\sin 2x=-\frac12.$$

Из $$\sin 2x=-\frac12$$ получаем

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка области определения: $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n.$$ Полученные решения этому условию удовлетворяют.