Упр.1536 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=-\frac{(-x)^4}{4}+(-x)^2=-\frac{x^4}{4}+x^2=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=-x^3+2x=x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt{2}.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-\sqrt{2} \text{ и } 0<x<\sqrt{2},$$
$$y'<0 \text{ при } -\sqrt{2}<x<0 \text{ и } x>\sqrt{2}.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-\sqrt{2})$$ и $$\left(0,\sqrt{2}\right),$$ убывает на $$\left(-\sqrt{2},0\right)$$ и $$\left(\sqrt{2},+\infty\right).$$
Точки экстремума:
$$y(\pm\sqrt{2})=-\frac{(\sqrt{2})^4}{4}+(\sqrt{2})^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$y(0)=0.$$
Следовательно, $$x=\pm\sqrt{2}$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
Для построения графика можно отметить точки:
$$(-2,0),\ (0,0),\ (2,0),\ (3,-11{,}25).$$
2) Рассмотрим функцию $$y=x^4-2x^2-3.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x).$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$4x(x-1)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\;0,\;1.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,$$
$$y'<0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } 0<x<1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(1,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0)$$ и $$(0,1).$$
Точки экстремума:
$$y(\pm1)=1-2-3=-4,$$
$$y(0)=-3.$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\pm1$$ — точки минимума.
Для построения графика можно отметить точки:
$$(-2,5),\ (2,5).$$
Ответ
1) Функция чётная; возрастает на $$(-\infty,-\sqrt{2})$$ и $$\left(0,\sqrt{2}\right),$$ убывает на $$\left(-\sqrt{2},0\right)$$ и $$\left(\sqrt{2},+\infty\right);$$ максимумы при $$x=\pm\sqrt{2},$$ минимум при $$x=0.$$
2) Функция чётная; возрастает на $$(-\infty,-1)$$ и $$(1,+\infty),$$ убывает на $$(-1,0)$$ и $$(0,1);$$ максимум при $$x=0,$$ минимумы при $$x=\pm1.$$
