Упр.1475 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график: 1) $$y=-x^4+4x^2-5$$; 2) $$y=x^3-4x$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+4x^2-5.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=-(-x)^4+4(-x)^2-5=-x^4+4x^2-5=y(x).$$

Следовательно, функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$.

Для построения найдём несколько точек:

$$\begin{aligned} x&=0,& y&=-5;\\ x&=\pm 1,& y&=-1+4-5=-2;\\ x&=\pm 2,& y&=-16+16-5=-5;\\ x&=\pm 3,& y&=-81+36-5=-50. \end{aligned}$$

Ключевые точки графика: $$\left(0,-5\right),\ \left(\pm1,-2\right),\ \left(\pm2,-5\right),\ \left(\pm3,-50\right).$$

График — симметричная относительно оси $$Oy$$ кривая с максимумами около точек $$x=\pm\sqrt2$$ и минимумом в точке $$\left(0,-5\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=x^3-4x.$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-y(x).$$

Следовательно, функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.

Для построения найдём несколько точек:

$$\begin{aligned} x&=0,& y&=0;\\ x&=1,& y&=1-4=-3;\\ x&=2,& y&=8-8=0;\\ x&=3,& y&=27-12=15. \end{aligned}$$

Ключевые точки графика: $$\left(0,0\right),\ \left(1,-3\right),\ \left(2,0\right),\ \left(3,15\right).$$

График — кубическая кривая, симметричная относительно начала координат.

Ответ

1) функция чётная; 2) функция нечётная.