Упр.1431 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\sin x\cos y=-\frac{1}{2},\\ \operatorname{tg}x\operatorname{ctg}y=1;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\sin x\sin y=\frac{1}{4},\\ 3\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}y.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x \cos y=-\dfrac12,\\ \tg x \ctg y=1. \end{cases}$$

Так как $$\tg x \ctg y=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{\cos y}{\sin y}=1,$$ то

$$\sin x\cos y=\cos x\sin y.$$

Тогда

$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=0,$$

$$\sin(x-y)=0,$$

$$x-y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, $$x=\pi n+y.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\sin(\pi n+y)\cos y=-\dfrac12.$$

При чётном $$n$$ получаем $$\sin y\cos y=-\dfrac12,$$ то есть

$$\sin 2y=-1,$$

$$2y=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$

$$y=-\dfrac{\pi}{4}+\pi m.$$

Тогда

$$x=\pi n-\dfrac{\pi}{4}+\pi m=-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m).$$

При нечётном $$n$$ получаем $$-\sin y\cos y=-\dfrac12,$$ то есть

$$\sin 2y=1,$$

$$2y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,$$

$$y=\dfrac{\pi}{4}+\pi m,$$

$$x=\pi n+\dfrac{\pi}{4}+\pi m=\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m).$$

Итак,

$$(x,y)=\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\quad \left(\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\quad n,m\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x \sin y=\dfrac14,\\ 3\tg x=\ctg y. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$3\tg x=\ctg y \;\Longrightarrow\; \tg x \tg y=\dfrac13.$$

Тогда

$$\dfrac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}=\dfrac13,$$

откуда

$$\cos x\cos y=3\sin x\sin y=\dfrac34.$$

Теперь

$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y=\dfrac34-\dfrac14=\dfrac12.$$

Следовательно,

$$x+y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Также

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\dfrac34+\dfrac14=1,$$

значит

$$x-y=2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$

Решая систему

$$\begin{cases} x+y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\\ x-y=2\pi m, \end{cases}$$

получаем

$$x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),$$

$$y=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m),\quad n,m\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$(x,y)=\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\quad \left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\quad n,m\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\ \left(\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\ n,m\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),\,\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\ n,m\in\mathbb Z.$$