Упр.1417 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке $$[-3\pi;\pi]$$:
   1) $$2\cos x-\sqrt{3}<0$$;
   2) $$\sqrt{2}\sin x+1\geqslant0$$;
   3) $$\sqrt{3}+\tg x\leqslant0$$;
   4) $$3\tg x-2>0$$.

1) $$2\cos x-\sqrt3<0$$

$$\cos x<\frac{\sqrt3}{2}$$

Точки равенства: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$ получаем:

$$x\in\left[-3\pi;-\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{11\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\pi\right].$$

2) $$\sqrt2\sin x+1\ge 0$$

$$\sin x\ge -\frac{\sqrt2}{2}$$

Точки равенства: $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

$$x\in\left[-3\pi;-\frac{11\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{9\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\pi\right].$$

3) $$\sqrt3+\tg x\le 0$$

$$\tg x\le -\sqrt3$$

Точки равенства: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

С учётом промежутков монотонности тангенса на $$[-3\pi;\pi]$$ получаем:

$$x\in\left(-\frac{5\pi}{2};-\frac{7\pi}{3}\right]\cup\left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{4\pi}{3}\right]\cup\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

4) $$3\tg x-2>0$$

$$\tg x>\frac23$$

Обозначим $$\alpha=\arctg\frac23.$$ Тогда на каждом промежутке вида $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$ решение имеет вид

$$x\in\left(\alpha+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right).$$

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

$$x\in\left(\alpha-3\pi;-\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha;\frac{\pi}{2}\right),$$

где $$\alpha=\arctg\frac23.$$