Упр.1416 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. С помощью графика решить неравенства: 1) $$\sin x<\frac{1}{4}$$; 2) $$\sin x>-\frac{1}{4}$$; 3) $$\operatorname{tg}x-3\leq 0$$; 4) $$\cos x>\frac{1}{3}$$.

1) $$\sin x<\frac14$$

Графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\frac14$$ пересекаются в точках

$$x=\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке между этими точками $$\sin x>\frac14$$, значит

$$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x>-\frac14$$

Точки пересечения графиков $$y=\sin x$$ и $$y=-\frac14$$ имеют абсциссы

$$x=-\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\tg x-3\le 0$$

Имеем

$$\tg x\le 3.$$

На каждом промежутке монотонности функции $$y=\tg x$$ получаем

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos x>\frac13$$

Границы области задаются уравнением

$$\cos x=\frac13,$$

откуда

$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как косинус больше $$\frac13$$ между этими точками, то

$$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$