Упр.1397 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком наименьшем целом значении $$m$$ уравнение $$(m-7)x^2+2(m-7)x+3=0$$ не имеет действительных корней?

Рассмотрим уравнение

$$(m-7)x^2+2(m-7)x+3=0.$$

Чтобы оно не имело действительных корней, нужно, чтобы либо $$D<0,$$ либо уравнение выродилось в линейное без корней. Найдём дискриминант:

$$D=[2(m-7)]^2-4(m-7)\cdot 3=4(m-7)^2-12(m-7)=4(m-7)(m-10).$$

Тогда

$$4(m-7)(m-10)<0,$$

то есть

$$(m-7)(m-10)<0.$$

Отсюда

$$7<m<10.$$

Проверим случай $$m=7$$: тогда уравнение превращается в $$3=0,$$ что не имеет решений. Но при $$m=7$$ это уже не квадратное уравнение, а противоречие, значит этот случай тоже подходит.

Следовательно, целые значения $$m$$, при которых уравнение не имеет действительных корней:

$$m=8,\;9.$$

Ответ: $$8,\;9$$.